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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 in!5&dy  
k0X^FRT  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. jLp<Odo$D  
]kW4?  
　　1、三角函数本质： { 0Au -@8s  
oH'  3bqy  
　　三角函数的本质来源于定义 zU2Po%\y  
t:Xv$LA$p4  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <wXLaUQ  
K3U=7Lz0l  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 9h[]?YBi  
$e,P V9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： lZ{(;K`k  
U;<73!}  
　　推导： y$wd4Em:  
[ C8x`h!~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 |u8PT{E.  
c~FH*@]w  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) e7nk8E9c  
@?Me- i32  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) fA4^ n'c]  
gdQS:|*`  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 x&@n-M~i  
a.D{M*  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） dspn/,Hw#g  
Zm Ahl  
　　[1] F,4&76D$D  
9L);xV+}Q-  
　　两角和公式 'N=P4*  
dNs4D`IkLD  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB rZ[M':{<F  
5rzs4Y56XR  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  k7:>!\Yr  
TJ' W0~\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB FlG3$9+`  
Qg82[jlZjB  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB _mnug* LJ  
f qYtP];3  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) WsV vYc%9C  
 f$'n   
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B`@R|J m3  
8q<{3B#"d  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Qq_Rwj7yJ  
XgO@W+']  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) cn]3EY"  
_fnt(6tX;  
倍角公式 UQa;s{8~  
inc3h?Dh  
　　Sin2A=2SinA•CosA X~gN 8_+  
j `Obu  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Fs3FFX  
UQ#{=F  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >}.L{\m  
5zVp(=?Yu  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） .~0Fs "  
I{* e:c~B  
三倍角公式 8`K\B` m  
EYM;;`J|  
　　 3yC@qu5  
iI 'Za  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) P)M%U-IoY6  
a;2HhDxG  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +!J .W(18  
5Bh#YLB_  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2>9$PaG4  
:QGEtw>1Y  
三倍角公式推导 IdCSzYyI]/  
+j6km&Kp  
　　sin3a V x)5Q0:  
#&vI;%f  
　　=sin(2a+a) ~bUv, }Sz  
n 82?2T05  
　　=sin2acosa+cos2asina /PgYZ  
rU`/"&h  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina E*DVU\b  
6 "F^_sS  
　　=3sina-4sin³a 3{`(|3TOFY  
J^9?7  
　　cos3a vbm}p0Kk  
mfLL\}:  
　　=cos(2a+a) 2U ?rxX!#  
UkAO9Mt5(  
　　=cos2acosa-sin2asina t{SB6T  
E5mma*{B  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa D,K/:efB  
0yak&~"  
　　=4cos³a-3cosa I| bBwFS  
h fIM I_Bk  
　　sin3a=3sina-4sin³a Vbh[{)J9p  
.t B1@7  
　　=4sina(3/4-sin²a) gDcMls  
5\FzNSa_x  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] e0Us3)Os  
s8}V{ye1  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) j/q[jDA5  
vEp34:H=|  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) RPEFX?  
DDE>9ZYC  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] KzeOjrU  
,Wg(a|D  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) aFnin4rdu  
A~]ME w  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 4&E&{.>]0  
f_ZaA$@  
　　=4cosa(cos²a-3/4) "8=l/b2  
a3Ds((}  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] S(Q`.vD  
Pvh|?)7Y  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) cs(2cSC2]  
DL@@z%  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ;Gc [K  
%dRh{ s  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} n~^v/w/CU  
0.8h6M\ {  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) $/1rYs0  
\ izC-G*  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 3465 (0O1  
X'%9S@fP  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] C6W /H  
!))iUk/o  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) =WX]MWa  
781WZt  
　　上述两式相比可得 !53ha ]] _  
!s8Fm@9i!  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) L>EOfa  
:mnI>y  
半角公式 Yp\YJ [*  
-?M0H!e~{  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #>+T!v[  
y`/,NA;  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. hLPDw(D/r  
+kv"9'P>  
和差化积 ONX 8@>;i,  
| qhMaF7  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] FP!^;gg}9  
:i MwH  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x!&->_n  
)Je P%-4  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5W?6D ](  
L?[rG==Z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i/1Z7S;  
&(ieBrY"o  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) z #(FA5<  
VpSJY6D~sL  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) P5 [Rew}  
^bk v {4  
积化和差 aPr' /2  
T!K&artefK  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] jah[[  
Vhu:bIgv\  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5}&d\$  
J6IJ1UV}  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] YyU7A3S J  
uvdD >I6  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?fH_b>#"hx  
Mt>)Xbte1  
诱导公式 wPr?y\?'c  
;w20Z0  
　　sin(-α) = -sinα ~wnxUBU  
\iu' M]  
　　cos(-α) = cosα TizMS<kGNa  
iBNsQy[qXt  
　　sin(π/2-α) = cosα q5: ay)P&D  
q&14#Xgqh  
　　cos(π/2-α) = sinα &<Cim?  
b;PI EX  
　　sin(π/2+α) = cosα o5SyCIj  
xx$-#1 J  
　　cos(π/2+α) = -sinα Wsx/-j4  
/zh~>ca  
　　sin(π-α) = sinα 70ulb   
I"b@}U  
　　cos(π-α) = -cosα Us%!u?=  
j IZ r>&yH  
　　sin(π+α) = -sinα b\T4d,8  
VstL10R<C  
　　cos(π+α) = -cosα 3'9C(N8  
C(A!L3m  
　　tanA= sinA/cosA Jcq4pFU  
>iTlLH$7>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ZD!s<zB  
-in:RWC#Kd  
　　tan（π/2－α）＝cotα OR"}D;  
BZio>6VT%  
　　tan（π－α）＝－tanα *8W(f*b.  
mo:y}d|^2  
　　tan（π＋α）＝tanα jwO `  
Lazuh  
万能公式 B#@Yoq.A:  
RM5T]q+t  
　　 VU78E|.+  
hox3Od z!H  
其它公式 b{qo\M*>  
U m9BzMf  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 %m"O)f){  
REn)br  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ngl.J+dG|  
LGP>F|M .`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 |e>wD Z2G  
k5;c&G(y@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 !xPCB'99N  
_NS Fu}  
　　对于任意非直角三角形,总有 l:U,*oH  
}}jE{N^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7 ;n4DV {  
gJ>2#fD  
　　证: y>JwK5.  
=c3{!`  
　　A+B=π-C 'v:nW(#H@  
Mq`OQ  
　　tan(A+B)=tan(π-C)  bE^Xb$(  
wK }`^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) }`qS]hG  
in~&=pXIH  
　　整理可得 3w]p;C`B  
sRS>Hjj,q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 0vL lY/$  
+qN;d&4L  
　　得证 TGtP|lMXM  
9xL[/PJ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 CBMHSA><}  
8 ub]<  
其他非重点三角函数 &?vgPeF  
@t =QVhT  
　　csc(a) = 1/sin(a) Z0X%RST  
MW 5QCIx  
　　sec(a) = 1/cos(a) 51ll0Qg  
Y4lH5!tZ  
　　 %lM`&vsSZ#  
o o! /  
双曲函数 ;:)b!  
&Lm&jD?02  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,l(Wu=d6s  
gi!^_'n  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 cp]C`3Uk  
Auwhkm  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) $:2\_ccR  
7+E3/#LQ  
　　公式一： '6`Qog2$B  
utE3@(VD  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：  8xn,$s  
LwJsOv  
　　sin（2kπ＋α）= sinα B%-0l5op  
B*~b1&t3  
　　cos（2kπ＋α）= cosα }KK9k=2'0Q  
[k2D +)_\  
　　tan（kπ＋α）= tanα o2<nYO{  
<Uk7^53??%  
　　cot（kπ＋α）= cotα QTH],,N#  
EGsd  
　　公式二： zm}tska;Z  
O^j3Y'%E+  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： s}x.^(lWl}  
7j~{rD|O  
　　sin（π＋α）= -sinα dE\ 9Dlmb  
f TgHnW  
　　cos（π＋α）= -cosα o"{)RSLH  
k>yVLVsvq  
　　tan（π＋α）= tanα S{L lRw  
qO]za  
　　cot（π＋α）= cotα 9t6PorpAa/  
$MX+RGE-  
　　公式三： - {gm>t0  
F76 *tl\  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： `Nc -qGt  
kgLca[#2  
　　sin（-α）= -sinα ;(2 k7&{s  
C]\li.9%  
　　cos（-α）= cosα 0MK=ZK,Qf  
/7Oaz"'1y  
　　tan（-α）= -tanα jhC~3~_`7m  
S6uE a8`:  
　　cot（-α）= -cotα Ki'Zi 0!  
$#?7hm[8  
　　公式四： #pQLtpy$w  
}W><$#HM|  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Qq6L:db+]  
+i<aP <2  
　　sin（π-α）= sinα n"2PS4==  
[}i+S f 8  
　　cos（π-α）= -cosα 1[eN9I/Im}  
n:J9RS (,q  
　　tan（π-α）= -tanα 7Q7M,E'D[  
.'o}uZe  
　　cot（π-α）= -cotα ^4~aO;o  
v"tN /Pi  
　　公式五： }|YzGQ0O  
=)J`Ji  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ^E >y6 a  
Q`Rss$*q$  
　　sin（2π-α）= -sinα I"w3='ML]  
iU+V$296  
　　cos（2π-α）= cosα J~Gi(  
~k``$a i /  
　　tan（2π-α）= -tanα DYzzx  
5-@xF  
　　cot（2π-α）= -cotα Bfu~;H<F  
39@l6 r7B  
　　公式六： ~_8# [.&  
{c nxl"  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： q F^X~J!D  
wB 0TS|  
　　sin（π/2+α）= cosα Q&pVltF;  
e (eZ4S  
　　cos（π/2+α）= -sinα -"uXa`z"  
$0. sgC1N  
　　tan（π/2+α）= -cotα xUo"\~4  
[.: 1(  
　　cot（π/2+α）= -tanα ;0F)9g 6L  
2q =;T/t  
　　sin（π/2-α）= cosα %0F#O *~  
2J X2  
　　cos（π/2-α）= sinα w\IeV-$r  
V]r@ajVS  
　　tan（π/2-α）= cotα Z;y *u{  
[4+X  
　　cot（π/2-α）= tanα d.2LBO'  
+n\_g+FK)  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &wuHBa8  
|G4H89Xs  
　　cos（3π/2+α）= sinα 6a]1~5I;(  
=(5KA]  
　　tan（3π/2+α）= -cotα lC4X-g5  
GNJVr7=zQ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα <@Niv t02  
uubnV*m  
　　sin（3π/2-α）= -cosα !fg&V!^  
tC?Kx/  
　　cos（3π/2-α）= -sinα !:a5]D O9  
W9:_RU  
　　tan（3π/2-α）= cotα {O6v3 ,i  
IO #vn j=  
　　cot（3π/2-α）= tanα bp>bQX`  
zTy#T(M.<  
　　(以上k∈Z) 2+O@]<c)  
3$}/bDo=R  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 KkKv3  
I ?bmUm<~  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = T?H;9`25  
:oTyYQ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } "4wED^ .  
\]!wT/\[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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