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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  Cw SJ)p  
E kz>M/h  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. IIZ$!e]7  
j;fc t*{U  
　　1、三角函数本质： )j pa'B3  
I,8#**W  
　　三角函数的本质来源于定义 =52,KOF[  
<fApnMM v  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 + D= >B_  
U};nR6  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ^=;k(Q-  
rj I5Q@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 99enq $  
S*jmNtGfk  
　　推导： E0Y.wx?[:  
+M/:xP]!  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 XE=~o]J  
HD\4DT{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) zr#^BvI}S  
_?XP1y<V  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) b/1af0Q  
PTH]] p  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 m*twKw/  
V5y;G,%H?  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ~<aQ#\1I  
D' e11zD  
　　[1] X81+ f\b6O  
:.gPWv3>p  
　　两角和公式 e F1dBVP  
!BA(6m5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB vENJ-E,  
*H&U(^R  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  hDASK-F  
W]##$]t  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB U"bB8Cb7  
( |ums  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB c:Oc9h)  
k}uT kw9  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) V9j;7;  
;N.K\I  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) <1@*[TM 1  
JdpfK(.&  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n:ajf1  
s3i5 }T  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) q|z,MZSv  
LyFuMYv  
倍角公式 jJ(@!:C-b  
LuU*(*:  
　　Sin2A=2SinA•CosA pd`SmUF'  
u |[Tz}0c  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2JVhm|P  
y fEzUj~  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） yUHuQI"`nW  
\%= O<L>  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） k%&#f68J  
oGE}`,^  
三倍角公式 'qE|.J:  
aO*F\|7  
　　 i i QmcVe  
z\lK- <m  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ' i\P   
:LX)yuqD  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Oo6@VNnzn  
DE/]6BM  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 8Itr*[  
bL!E"AGbN  
三倍角公式推导 .&n]`.3S  
iG+\b~  
　　sin3a 7a!+4-`o  
9Hi"2 94f  
　　=sin(2a+a) q-`o"SYi  
E:MsC\  
　　=sin2acosa+cos2asina Ikh*0>X"K9  
[}<U^  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina yQE={80  
DU0xAV!  
　　=3sina-4sin³a ?<hX u,3  
3P$SN   
　　cos3a x5in5uY5^  
=@ME6R  
　　=cos(2a+a) wRZmmPZ7g  
~m-@X:vC  
　　=cos2acosa-sin2asina q33(t~md  
ZM BZ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _MMCp  
r7aUl  
　　=4cos³a-3cosa $)>QH&)^5B  
D[xLRwD#|L  
　　sin3a=3sina-4sin³a XC`Y0c}%`U  
B%R#Y0[v  
　　=4sina(3/4-sin²a) $e#c/[Yu  
p`ejcvt:3  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] B[hnh e)  
OtZT:hp]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) #zq ,$8"  
tEs&D*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ?5Wy>7 ^Qn  
Ux ,h  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :3OehN  
<Ms\E>b  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ]?~aGu:{<  
omKZegA  
　　cos3a=4cos³a-3cosa {x(V `j  
*v/|!Ka4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ysr#)^av.  
6TS_OJSQ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] J4y.j{V9M  
?&s7dIYgV  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) &^ @QMs  
N0|Eg=^u  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) r RuB}nms3  
~G]Ck-'4  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} g_wLz+2O  
sPi4,H[  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) b9kj_]  
7%I%5)C.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?/v^kT!R  
'Xjn:nN]  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8 Arct,p  
WPR$*"lg  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) j>[bPr  
nG3kPBgm  
　　上述两式相比可得 ?C/Y]l  
jcRHt>|hj  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) s:1 Ml'  
yq 6^A%Si  
半角公式 {Rk(:sg  
BbZGroPz  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 9wtMdcey=\  
_8"cW4q  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. mm.="(, t  
aPs6;(ik_  
和差化积 UX'll}[q   
rj<XY={_  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] m 1q%eq  
)oL*X1wx:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] poM~lc@4  
\i;2#N Nf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] pmd SI6pd  
f\Su7ly*%  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] NUwnN~&7  
BPBoU*d*  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 8#]*+ rWG  
00e6.u_#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) `Oa/B]+b  
qu=QFXvS  
积化和差 P*?&^aFLLr  
> 4z&iG  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] sdXO,u  
xmO/HdC@R  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %"'-_  
]X;[[&-d  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] rsR)/Y7  
s@E{TkgC  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~NO'@'=}X  
XSePondFO  
诱导公式 HnRen=.  
wB0;-i  
　　sin(-α) = -sinα ]L\2 >-J  
u E-S 8  
　　cos(-α) = cosα w)vU8VcK`  
u(2?JkhY@#  
　　sin(π/2-α) = cosα l\NJj\*  
tTz-@4n}  
　　cos(π/2-α) = sinα Xt;!SG0  
] >o?dP{  
　　sin(π/2+α) = cosα %W F&   
9 8VkTG #  
　　cos(π/2+α) = -sinα _s <&Vwyt  
<UU{0$  
　　sin(π-α) = sinα ^1_AzG(d  
_?"#%1,(y  
　　cos(π-α) = -cosα { Hb nc-  
w,#i"`3;u  
　　sin(π+α) = -sinα a8$&,tpP"Y  
lpjwre]  
　　cos(π+α) = -cosα RD qT@>  
;. `-y  
　　tanA= sinA/cosA Y0~Q]Q!N  
";(KE/)7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 0ak#x/  
bto+=X-  
　　tan（π/2－α）＝cotα r7E\Mc  
H^XS^N+uR  
　　tan（π－α）＝－tanα wiz7x@+|F9  
\=Bl^S *A  
　　tan（π＋α）＝tanα hfM<Ws8  
:16F@#0  
万能公式 <?3mQ  
twNBXD  
　　 rh$UB}n'  
T1"j A;eTG  
其它公式 !A:?v{  
1+MURAv9[  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 U%#_i  
)4KGJ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ng64J&n1  
5 3 O+5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ln+y EE  
}Fk?mr&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 g mq&MD  
,?XQTSe7  
　　对于任意非直角三角形,总有 T3Z `Ji_H  
a-n+9'-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )oJ-_  
*hw/mW($  
　　证: f=0/bL >Q\  
:gIxpp/t  
　　A+B=π-C e)C<{N0  
Jk_ZCCiy  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "G~H ,{  
m63d A{u  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ;?8FLK  
t<av. i=  
　　整理可得 G1k&_)6Ck  
.8}5Nbio  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \d rAW $  
Z} E`a  
　　得证 y,lF>g /  
s/YVR#5?3  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7{O%ow90/L  
b:[R{d^  
其他非重点三角函数 0<6~Pd6i  
ft4sluT4d  
　　csc(a) = 1/sin(a) 2 nR$4Pxi  
O0fGl\Ai  
　　sec(a) = 1/cos(a) $hjLL c(:O  
{(j *z%~K  
　　 \u&D  
y5K daE  
双曲函数 Pr>Ajk7n  
;7WV;_&@{  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 \&TkCL&rp  
##$I./ ><]  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 * ^-W C^A#  
,c,Zv3Zw  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) mM3@ <5+r  
w 0B B+  
　　公式一： PwKMg  
pO0u~{m  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： % d>jmIl  
L#3)=1  
　　sin（2kπ＋α）= sinα z] Oyy_  
Mkg'FVk  
　　cos（2kπ＋α）= cosα @hq6s ( !  
d|QG+GQI  
　　tan（kπ＋α）= tanα Ej#~V%g{  
RV~{)t=_  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4N&w-  
1~V 7S{(  
　　公式二： uzxx}QBL#  
MD +mW%D  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： $&?#rep  
pRS;S:X  
　　sin（π＋α）= -sinα $ or'8J HT  
=|uhtk`\  
　　cos（π＋α）= -cosα 2C5qWRb}"  
NVZ X' 0  
　　tan（π＋α）= tanα 82)dXJ}j  
L`&t"CG#r  
　　cot（π＋α）= cotα ~RIRxu:k  
@ZTx5_`  
　　公式三： 8D "U<c  
RH]Ywf  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 1yYmTrvH,  
:R6[ 8G#  
　　sin（-α）= -sinα >{K`h 2f  
0|lW=KS#  
　　cos（-α）= cosα :o-3|zYB'  
qrh n#H  
　　tan（-α）= -tanα @qgpdH'  
S*(z$L''  
　　cot（-α）= -cotα !/t58}  
#l5F,9d)  
　　公式四： 6T6X$v<K  
 e~T ~ro  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &L:sh<<  
8& ak%$^a  
　　sin（π-α）= sinα sS!9A8  
6#q#"Okd  
　　cos（π-α）= -cosα ZCdr) O+  
mmvUDA  
　　tan（π-α）= -tanα ,}2>XT]vr  
1y_;W^-y  
　　cot（π-α）= -cotα +kK{.Xk4  
~`%edt]/  
　　公式五： SN+kwIPz+  
_'.`QeYu  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： >z`Y"  
1AoV*sm  
　　sin（2π-α）= -sinα q>D3U/)  
0;ZOI[!%  
　　cos（2π-α）= cosα a9 7;L t  
*O_(2xI~.  
　　tan（2π-α）= -tanα {3 *OE;6 R  
Ak: sV)Ym  
　　cot（2π-α）= -cotα Z0So9,z T  
o >umy5  
　　公式六： )[(Pyk<2  
h)` }  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Y&c3E~OG  
u""Zvp5:  
　　sin（π/2+α）= cosα /Pg.V>sg;  
BFn<\k  
　　cos（π/2+α）= -sinα a c@*hu4  
c 'aymnF  
　　tan（π/2+α）= -cotα ~]3Tz   
NyqS@2.79  
　　cot（π/2+α）= -tanα UGHU0V  
CET U|;-1  
　　sin（π/2-α）= cosα /cJO;#  
A`?u+7Cu  
　　cos（π/2-α）= sinα ^OtnSGo  
x:lG98  
　　tan（π/2-α）= cotα . u(<]!|a  
s+#O:  
　　cot（π/2-α）= tanα 2,D!   
'|<$z`maB  
　　sin（3π/2+α）= -cosα mq/vCf,~  
3^#o"*U  
　　cos（3π/2+α）= sinα E@(IR?h`+@  
*;Hgv%J,  
　　tan（3π/2+α）= -cotα cK5+f[w  
gh 'MVa  
　　cot（3π/2+α）= -tanα R2^IDUn   
x5s2f hl  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 4 sWw  
gy >cIm  
　　cos（3π/2-α）= -sinα v@H&jW`@s  
f0HAX-1R  
　　tan（3π/2-α）= cotα )N<y W9?  
*=R&pS`  
　　cot（3π/2-α）= tanα PomPGq:4  
] ah .**b  
　　(以上k∈Z) 7}rGt!s}c  
2{@w2Yr!  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Z00)6\pE  
Bj-\34V7  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = em~)tH;U|  
),4X[#tL  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ? *i1X  
QvP !y{  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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