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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _D-vTH[  
0#I#!89  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. )tTO-o0  
 1)nmfg  
　　1、三角函数本质： M0C{Vn%[4  
-Y@xcO [  
　　三角函数的本质来源于定义 k<r/  
"jB BQ8C1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 W[I|#  
L:_qD.  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 dpqk,19w  
ujH{Beo|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： s)dX\sP[e  
u^_,1e  
　　推导： &2D6n SU;  
^A&CJD[  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 < t?*4w=  
$~uq%\5 hC  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) !&V`>  
k{"8W&7  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~l|Y:4\%H  
-L7}sbn`@  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 $Pu$y$@MF  
@t'Y MPf  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） e=,kkLy  
:iS&9 [;g  
　　[1] $eSV$)f:P  
#4UZ4\8  
　　两角和公式 (4F$\ %)s  
u}Xp Z#<=_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <'Fn!M\{  
yH[5(AJ   
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  @Ks% Y7U  
eh /2ioW  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 1iiwc7:%  
RRCD}Dr  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \RnEBGzM  
.%;MTY  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) H10+ i  
Tm _:/u  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) hDdP-\   
!~ E`HX!  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  A3PDm=  
^Z{A;9xL  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7h{b_%TH  
]Z\HmGIM=7  
倍角公式 \irWr[Fi  
^+B_' N&`  
　　Sin2A=2SinA•CosA ;uId)ds&VP  
Qho^g P  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ]E\  
|`c6&7S  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ZCoxY%u  
Uh3 jv`  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ePrSU/  
G` 3#0OLn3  
三倍角公式 m U sb&xw  
aIS`"P 0  
　　 e7ye =kS  
4+3X7g x"  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,rkX V  
o%JmsLt*G!  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ->t .76;  
`y8lUId  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) SttU}MV-  
@g%Cfk}lr  
三倍角公式推导 Cgj O4F  
8C'=0p<  
　　sin3a `]`Ngq+D  
2cTrvp  
　　=sin(2a+a) 311  
J`_]}v5@|  
　　=sin2acosa+cos2asina 8"l^luR   
PVJL^O:  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina tbX^%r\  
s{IQaq0D  
　　=3sina-4sin³a t_cHLU!  
4.2+Ed\&"  
　　cos3a ;;w7+.+c!  
hO6A;lH  
　　=cos(2a+a) (C0*  
9Fs6;b  
　　=cos2acosa-sin2asina u0\AqjZu  
7F:tu  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa R=}Ku#'  
 *."zU  
　　=4cos³a-3cosa $GGe1vGi  
1FId~qhe  
　　sin3a=3sina-4sin³a sv3AQK  
|C|^.`tl?.  
　　=4sina(3/4-sin²a) KeNRL-p6  
=}a _F0,\  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] "6*Uv+  
/DaV?v 2  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) d#?)|u+2  
Ji|9~.&y  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) SJh@Y+U[  
zYU >y@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] +jv1,   
r0DB-|b)#7  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) S a'L'U8A  
ks@hMj"/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ge*p a\X  
Q"o,4{<b  
　　=4cosa(cos²a-3/4) :vY3F%?  
7(SdptA  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] B? Rp  
d {Em=`  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) TwCemQr  
Fa :m-6,  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 74Lo< *@  
0_<Z+^F}k  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} '|p0s7f  
d-GPG9l  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  VS 5fL  
mI[4qYUf  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] D?:+1,Z]"  
x'Y (  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] n#)W*yg  
2a rw7  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) NBlbD|"  
n rv i  
　　上述两式相比可得 12;"Q p,/  
?* ~dc#  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) mao IC|F  
| 3 \"pe@  
半角公式 "7!"C|  
F ]?[Gij  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ~=hzcbz  
L yY\W^  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "^5:-$'  
FQG0e%1?f  
和差化积 \e%G~Ym&  
dnW,bn!  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #x@Zc9Fa  
MuZ!CL\p<m  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *I?HB^H`  
HUO>#(q:  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j|#&4N0  
Qj,;wHm+  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1 }bBe 2  
^Ru7.7W1H  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) xs&Bqm o  
K0|I  N  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~!E~( IS&  
M._0es|ZY  
积化和差 \hi!3_<s2  
1QyVa,7  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] iYUYI6[f  
RR7%!r  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] TA:J;o^4M  
9ytKc0%B  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] U[A=CN  
_qm~kQvV  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :>c-V'D]D  
rSfWA7s  
诱导公式 Gv`#l)]dv  
l*lXX  
　　sin(-α) = -sinα kw>]<x  
>XE;W\;zV  
　　cos(-α) = cosα ?JK7pg6  
~&'TeqQ*]  
　　sin(π/2-α) = cosα Y1I|B>  
J Gceg8]O  
　　cos(π/2-α) = sinα XbPc!XOd  
FfZ `\-  
　　sin(π/2+α) = cosα NK.826Jy  
"6cKsJ   
　　cos(π/2+α) = -sinα t %_T6\q;B  
oDi=]nNU  
　　sin(π-α) = sinα Fvbx({  
S= {6R  
　　cos(π-α) = -cosα l31k>~1L  
otzpSG60  
　　sin(π+α) = -sinα f 7W#g(']  
[hJr 6%h  
　　cos(π+α) = -cosα qg_.xp(O6  
]8)   
　　tanA= sinA/cosA 1E]Uk[mUw  
WT v=M E  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα + \ oL`qA  
eRZxbH`2  
　　tan（π/2－α）＝cotα Uh\!{ g  
8ej>4sxB  
　　tan（π－α）＝－tanα ,gzQSb]^#  
2 G&4y}  
　　tan（π＋α）＝tanα kXo({QG  
Js98N~:  
万能公式 wh^9 nZZl  
S({[ ZS L  
　　 s#Bm#MKU  
E"yI7L@  
其它公式 v^8/e%_X  
+Bq E:&M'  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  KPT-L;{  
O!0MDev  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 \x"[Wfb  
a87|F0  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 S1?7# Hn  
?wh=#>+s!  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 cYGi/lQ(  
?k 1 *&F  
　　对于任意非直角三角形,总有 %d Ib KaP  
g<*,J2W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC UL+,jy.}  
_}IFZ~ZH  
　　证: }XFoTvuN  
-7?Z(PNc  
　　A+B=π-C @:W4F5  
$C/ >G.f)  
　　tan(A+B)=tan(π-C) *VT T|_ro  
$FwgRyt J  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) mvWl%J)8$  
e1f*2 +Y  
　　整理可得 _g~dTW8~s  
b`T*_hcKC  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KTaJ;;E  
-p #a?V|;r  
　　得证 VG7}@H{, *  
y< }}  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 B_l:zW]B$  
{!W] F_   
其他非重点三角函数 l?oYhxBNP  
M>fg<i"A  
　　csc(a) = 1/sin(a) K_+uhX  
&zRzRR(=  
　　sec(a) = 1/cos(a) b]j+FFeV  
g ;lZtf$  
　　 7&r;u[,I  
o1m|__B  
双曲函数 M5 q e  
n}WGW hz,  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 D]h"FYdG  
q:p >FN7H  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 @qb0~W  
f#}eNF=  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) C fs/_ -D  
; CflvPV  
　　公式一： t$)\u\Fz  
#ymg$= AS  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： #2'9WB0q  
65&{)QF0  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 2i!0|t`[  
[ +(<hj5M  
　　cos（2kπ＋α）= cosα KF*w  
W|1r yQU>  
　　tan（kπ＋α）= tanα .{pD(W1  
AwOHC(  
　　cot（kπ＋α）= cotα N Y}vXV'  
{<n"'v ^k  
　　公式二： ~ z.#nG  
8VJ#2:a_v  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： *hugObT!  
W5"0WmP  
　　sin（π＋α）= -sinα oa]Fft  
HRz.WYw3  
　　cos（π＋α）= -cosα bNhlg  
i~'c $T  
　　tan（π＋α）= tanα _5+W:k  
p:s:Gv  
　　cot（π＋α）= cotα 1I7xs{Y8  
Qr_orXO  
　　公式三： ff.AM%iN}  
-Ts6u~&  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Af3^K^i  
h <#|Cy,H  
　　sin（-α）= -sinα YG z  
w/Ym?a2o  
　　cos（-α）= cosα j%c\D7Q  
zt1$iv  
　　tan（-α）= -tanα V5-)YBu  
MG e>n{  
　　cot（-α）= -cotα 1-AN =4*  
M9=QR^q-A  
　　公式四： h KO28Z/,d  
0M kV XQ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： o[/0;kq  
."q2mMbn3  
　　sin（π-α）= sinα S:i8m  
G+\\xDgs  
　　cos（π-α）= -cosα z6R}9SEO  
]] =)n@  
　　tan（π-α）= -tanα :6'. ]f  
+<I &  
　　cot（π-α）= -cotα 4rD B   
N"d#=;  
　　公式五： n>9>Tg9 Yd  
O} !\O}\  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 3u\m*tS  
}.C_f#Hpj  
　　sin（2π-α）= -sinα Ce387+EmO  
%<C::8]  
　　cos（2π-α）= cosα /kPF}"  
_P"9\ <  
　　tan（2π-α）= -tanα ! Ozq<wB0  
eb<|yiuM,  
　　cot（2π-α）= -cotα %'=o <xP<  
tY fh zjm  
　　公式六： @Y^{\,P  
Qzk0o;P  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： <x>'RtTet  
Z. Ho R  
　　sin（π/2+α）= cosα 7%*R "fc  
dUM1Xyfs  
　　cos（π/2+α）= -sinα FN;H3p0  
v}"3J  
　　tan（π/2+α）= -cotα >a=5H?e  
 RDcr?'  
　　cot（π/2+α）= -tanα `@<v5+p  
% +lV[+/#  
　　sin（π/2-α）= cosα EI5(aWoP  
o \7RH  
　　cos（π/2-α）= sinα Se61J<p  
' ^Ha_OO  
　　tan（π/2-α）= cotα .pExzVq'}  
ptoL;;+k  
　　cot（π/2-α）= tanα 86 Hh$r  
I3 3"boLZ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα #?T4cn"+d  
es^t,'OY  
　　cos（3π/2+α）= sinα 5A?sjBlp  
Yq qq:}"  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  ~rS[h  
gr="  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Zi?zB&]  
eOh''  
　　sin（3π/2-α）= -cosα EaI%:h:$  
sz/BO[Ln  
　　cos（3π/2-α）= -sinα V[,p!2 n(  
555<('Rw  
　　tan（3π/2-α）= cotα 22LbHnqG#  
A"@zZsB%&  
　　cot（3π/2-α）= tanα b-_7s6'|p  
Z#%dKBy-C  
　　(以上k∈Z) ,Q 9t]  
:~CIN |  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 _KZ.  
[}r7sL-  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1 )A<3WFu  
YL=x-(2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } =w77Zh!  
1&/ vxK  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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