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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Px: 2|:*+  
3eh ARA2  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 'tfhy,2r+h  
(w]RUZ.1:  
　　1、三角函数本质： =A{ KLZW  
b zNPBZ\1  
　　三角函数的本质来源于定义 [()k{=Ay-  
w Db?01T$:  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 PDl_MR@ t  
:g9-g> K_  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 )P~2( -_  
Bjm/(P.X_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： [hu z^~!  
}w<  
　　推导： ]"a y5:~F  
+bsJ{ fr  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 oFFL0h%  
)HM_d^fdl  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Uwtu L D  
1!Oq2MO  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) E.5sc=Y  
B)YFv6]S/_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 wPn@'p  
N%sOe-#v|  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ; =~;LiLB  
P_)\#SP  
　　[1] ]c1F<\gC  
Q?m&+c$2  
　　两角和公式 O s5yKpm5  
 i`oE  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB q1Hs)X~yP  
6IAY%GLU  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Pt?.;Ha&  
DOR l&8E  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 1~}Lu&oE  
DhhPGM  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 7iJ;$"K  
gxne2*\v  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) *tW%Ky6M |  
Gxp4il  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -{tYogA7;  
>@9cn@O5  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  X7]J:e@  
$ur>V=?m  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 0a{'frjrKU  
PN<vaUDiV-  
倍角公式 :>@f 8@eA  
Yl<TfLHE6  
　　Sin2A=2SinA•CosA i(^^  
q% p~wX!  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 E3U5+0#&  
n ?f"-`s  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） s1gj_)n  
a]<r\&<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ~'Ey>mh_g  
)b/aE,  
三倍角公式 pn &{~Yd7  
S_[g9B}&S[  
　　 1nb n.o  
*.>*-m  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Q|]\uVv  
B{>>gf(I  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) J3kh(*Z/Ow  
`qTQ<_b%$;  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ,F;axAji  
=]c6UE44  
三倍角公式推导 x)6 mf1  
$$`h n#7o,  
　　sin3a W2RY3m8WB  
jCYa:  
　　=sin(2a+a) Cv QLtg7  
(.a+BK. t  
　　=sin2acosa+cos2asina AWR(0?a  
3BBj0D0.E  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina c$<IL;{91  
C[vk*h=g  
　　=3sina-4sin³a O% -yQ?\  
8u=<EF!|~  
　　cos3a 9bA}[Kl  
J:b*}Mr  
　　=cos(2a+a) wJ)6?ox,  
!JmI~D  
　　=cos2acosa-sin2asina aFPEs %  
">R T7aQ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa $d4_5b 7l  
9I)Av|Qf!  
　　=4cos³a-3cosa  <&UOCv  
Y\>l(i-  
　　sin3a=3sina-4sin³a FkUKxH8  
iU;<qGW  
　　=4sina(3/4-sin²a) A-x@#:  
=/&9fh 'NU  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] pY[#};S%  
7^s jPKU  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) szzwA z  
-_i$ EJ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) {xPjuDf1  
pO`hj&`  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] j C5PcrH  
\,kv"Bk  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) .1)"b$H8  
b$zLSWOA  
　　cos3a=4cos³a-3cosa }-/p4|GI  
$x+<zU*2  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Q]:_/F2E  
i<kt33%  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [!B Xyl=@E  
<)@s*0Y1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) `}(r:B_J  
R\qs}i@&G  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) i\^k$-gLE  
?FIOU96  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Rc(yF a%Z+  
3WNIdWe1S  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) jgM~1*>9g  
@@t_eqmh2  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] T*|A>K=D  
.iE $Kg  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] \9zI8Ko;s  
"=XS.s+'  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) FaMicifqS  
{3`Vr6qq  
　　上述两式相比可得 EjVz=(A  
P-<+VQPi  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c5PO:O`i  
4_/sUVBZ  
半角公式 6$:.nycCX  
7r )0d F  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); >B6}"1/(g  
Ptnl /  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. p]}|s~_r  
w\xud~:,,  
和差化积 Ap&A#J|Tq  
G[?kt  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,4}y=6~?|  
nG?P('H^  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] p8i8 F3C,:  
Cl[9[#z+  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /28bQ  
)bZ;{*aR  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] JqXg@!lPp  
M})inDy  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) R+ .dVT  
yz83s  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) p0wRoix|  
,}C~ mP  
积化和差 >afJ #T  
%N)R: n  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 4Ab <.*`SQ  
$H1n)@F ,]  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >v EX~>q  
?Sf5YKQ8  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ;cWdPq  
M~mZ6+$  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] <f $`-U;K  
gZ:/7!  
诱导公式 TMDP y.  
{if3Rj P  
　　sin(-α) = -sinα j([u~pa  
aPI7H$.E  
　　cos(-α) = cosα #+{}k_R  
ZS nf>b  
　　sin(π/2-α) = cosα A P&+X;  
f=UQnc;  
　　cos(π/2-α) = sinα ,,T7cJ)U  
-)i n[V^  
　　sin(π/2+α) = cosα 01(B7ab|[  
u?6C/Q+p5  
　　cos(π/2+α) = -sinα Q !pWpda3  
$~;<bl k  
　　sin(π-α) = sinα )M MHLB  
w{lIb~-5  
　　cos(π-α) = -cosα 'Swm (6~  
2 :;C"0b  
　　sin(π+α) = -sinα HCC,Nf  
l~rg1-_n  
　　cos(π+α) = -cosα r@D]z E8  
zZ !F*g6QK  
　　tanA= sinA/cosA XZ= v  
2kI\bWr!_  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^ sTW1(  
6,W?(J5z  
　　tan（π/2－α）＝cotα @][b   
EhBibF2A  
　　tan（π－α）＝－tanα :m)O]l  
9r]HQa:@%{  
　　tan（π＋α）＝tanα gCaUL0_'$  
@hAQ~NU  
万能公式 =#kK[\9  
;fN77D Q-a  
　　 8caA  
rDtNeYZt#U  
其它公式 ;4Qq!u  
MF[Rb\f:  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 gyf_ iq  
J7~TE  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ue?XVh|  
Z |2}>  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 \ ^z"Y)tC  
ng0p{??  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 vcPFPD.[h  
=)Ix.qxl  
　　对于任意非直角三角形,总有 Qyz~f29M  
;h+ =F>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ; dQL-MSa  
c4Mn of  
　　证: +/ A~8yN>  
Ta u#"  
　　A+B=π-C [Uyc ?4  
yFy9vz]E  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 5% Q!t5kT  
*Diy4Kt  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) kBty+  
\hYm]h8P@  
　　整理可得 C}p=X^Js"  
1jOo;udnqL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC m~Y4(CkC  
+D$l,n@,  
　　得证 zS4yE] I  
?JsI|J  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 }Mn6m~ww~  
Gt BUV%  
其他非重点三角函数 ?5=\,,w#  
c]:EnmwS  
　　csc(a) = 1/sin(a) e6K&k)o@  
XsRK]"(c.*  
　　sec(a) = 1/cos(a) o/Ui9Zoud  
SsZ;Xk#  
　　 4L6%bqsA  
=R2[7({r  
双曲函数 ]o"  AvS  
`ffN!;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 jz{AYOaG,  
)v!.E?  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7^[4+1  
(T3[tH[e  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /) Uncq  
1j`YE^#iG  
　　公式一： rEV;v:CE  
b 8ngi:uG  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： /b f) N  
O"P{PJS  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 1[PLTAK  
r Bf'#k!`g  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 6U[.\2~lX  
l]a=aNs  
　　tan（kπ＋α）= tanα 9${:<CWi  
Jj(9~>/"m  
　　cot（kπ＋α）= cotα f\$*oWA  
:(^!YJV_  
　　公式二： #/C pnK%  
yIF7?Jt!  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： J~nD KHL  
6L[&c   
　　sin（π＋α）= -sinα }=4 1?S!  
C'LZN .g  
　　cos（π＋α）= -cosα m^:'Y7{  
`J$=uO[0  
　　tan（π＋α）= tanα V1MQ(L  
p(*Uk)cD@  
　　cot（π＋α）= cotα %t 0k6D  
}{d&8ed  
　　公式三： "&?js8  
)i%mX/+bFu  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： :IBIk:Py  
4?c5E  
　　sin（-α）= -sinα #f8$Y?`k  
Wn"N~Wn%  
　　cos（-α）= cosα 8Apvkzc 7  
)E:OA  
　　tan（-α）= -tanα l0u,dma~  
aM!["|sXR  
　　cot（-α）= -cotα KORw(pM`6  
|8|,%@ Bp  
　　公式四： UHrrb ,  
N <r/xJ(]  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： `pAq*7Mg  
@R`]U;]  
　　sin（π-α）= sinα a?s`R,J] X  
hEvy   
　　cos（π-α）= -cosα dlxk_O&  
h}P/ `-_y  
　　tan（π-α）= -tanα G~=$hSw  
/)SaTlx==S  
　　cot（π-α）= -cotα :dtp$e0R  
U f";.  
　　公式五： ioWA%R6  
$"sJIW08  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： f)7I`L  
Ke1e# !  
　　sin（2π-α）= -sinα _2hk@$4  
y^+?@LqT  
　　cos（2π-α）= cosα b82mxGw)  
3]vRevE  
　　tan（2π-α）= -tanα b F6D{T  
Ap>p:$7Y  
　　cot（2π-α）= -cotα ~ZaY r~8F  
Pc&^$ d%P  
　　公式六： YYgH^Bo  
a1k_~X HDZ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： u3NUQxAx <  
 a_s  
　　sin（π/2+α）= cosα ^"iGvD?  
9Jl \'\e  
　　cos（π/2+α）= -sinα zXUuN  
tnq(vhq  
　　tan（π/2+α）= -cotα C _;",cq  
\03Tx Zyj  
　　cot（π/2+α）= -tanα "Jj|?-$  
zO9;'t<S  
　　sin（π/2-α）= cosα "o`yB  
<c<h^1 m  
　　cos（π/2-α）= sinα -SB0|8 /3  
RZ!%I#$5 m  
　　tan（π/2-α）= cotα R #nxSNGc  
;@_):L]  
　　cot（π/2-α）= tanα Nj3d$&qv  
a>? hYdYP  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ?Dz.CMO$  
( !s_OT  
　　cos（3π/2+α）= sinα Oc5Roly8g  
f /-*{a  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~5Mk_-A  
sC\4u-]]  
　　cot（3π/2+α）= -tanα OI tqXws  
@.@=a?:c  
　　sin（3π/2-α）= -cosα SlZ'x|(U  
\rcTk  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 'LnYWbGH  
xzlpst@  
　　tan（3π/2-α）= cotα UI9pBv-0  
]kJ'~'p(e  
　　cot（3π/2-α）= tanα J5{ K76TQ  
N2?\ML/ww  
　　(以上k∈Z) _HVL-u?  
kM T^9YSW  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 "as.v'kv  
]z& VPd  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = FT\P@-iIo  
,D~3/3C_  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } { .K)28it  
VJ|7\"T  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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