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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ~ c{eC  
aJB), H">f  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. $XMVy(v  
f0GD6^e+  
　　1、三角函数本质： {l|Ku=7FY  
z,1`"x';N  
　　三角函数的本质来源于定义 }q9y ~I^  
6Zn\'i9v  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <]mYH3%n/  
i9LcB.}@  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 W$7Q5J  
\Q_r Q"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Gv e^zCzMD  
P%~x%H}  
　　推导： ; d m@g  
~*cl&4T/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 `THO\2?k4  
7l4jz 4Y  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )IAU -OJ  
wor^&]DE?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) OFl$/p7  
tH\'mS^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 }%eXRb<  
^fx-'9T45  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） C_?5%%B&U  
B-#CBCV  
　　[1] 4Lw cZZ(  
p.D[DO:{  
　　两角和公式  AE[{Q  
= ]?<P[e  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ooI'wd u  
<%&2i  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  MR 1=[  
/m9;5 =El  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB [SqA*7}2$  
R1k, h  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB shPd[H  
0g~Ofyi~  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]v}n  
]!X[Go_k /  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) PxBLza>'J  
h> ]a'TB  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  l pzE^X^e  
|#}3vmO*  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ^v.?F#U *  
> J|8F 1  
倍角公式 XdIs/<b  
mJq>KUQsC  
　　Sin2A=2SinA•CosA `nu@@oI  
BQ3!v  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 "9jC@o?[5  
$jR9Ikd\  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） -d1_ZUyK?  
U O%c38.  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） j'_E7_c.  
OZhz@]BT  
三倍角公式 H0y8;~ QE  
J4E j*N  
　　 o4y@S04  
f&8h"vl4  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) AoD#}:+#+  
;Xio2kP  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) >)x,I  
*+:#S6A0  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) s|R:3!  
U9sU4uH  
三倍角公式推导 Q4--R;o  
gJFl~-]  
　　sin3a (aJY%F-  
p ! k|  
　　=sin(2a+a) FGo_IM x  
`51_ZTkMCx  
　　=sin2acosa+cos2asina #q24}A87q  
J<[Z0ri   
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina - % 29  
Ci'oz';|  
　　=3sina-4sin³a qK7U&fL  
Mr/WXVD7X  
　　cos3a \bGY6wX12N  
% ) Ma*S  
　　=cos(2a+a) DWQ3 {G-  
}^pOA{4:  
　　=cos2acosa-sin2asina }SZ2%B:@z  
`G "lMY#  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa GlNS-  
#N w`  
　　=4cos³a-3cosa 2K$3:H()  
wsPt -.:  
　　sin3a=3sina-4sin³a a )3\ )$  
`glt<Qdvnn  
　　=4sina(3/4-sin²a) X_v\D~2P  
K62DS8!$S  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 2mgFs#!  
AK:L9#-  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (A uEjFe  
$__Pdn"J  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Cm`c>U  
/JS~x)Mu  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] "-889exe;  
u-^Rkqq?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) O)dpCJ#~7  
A{w~[4G  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Oyn>4J q  
"E7*&ir  
　　=4cosa(cos²a-3/4) e9EA/>l  
aW<{ r*  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] },}Oj@}!  
d$leOu;d  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) PsB+  
YnZc:lE8U  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Wb9R2&~T}  
G,5Spz?~  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +[P~ 7 z  
48\)ZJ,I  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) -s='90  
pN4kpO*t  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 0^>^v.  
HFe`=$w  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 6PNqF  
Ue&C[1`  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) sc19TF`w  
yE&tlEoy=  
　　上述两式相比可得 KL7d$sx J  
x"zy 9  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) N@&+5N'~G  
*-ROAJce  
半角公式 K{})5[<)  
 [-i+oX  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); q:>}HEbF  
w9z/ibu  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. v A^sQsm  
dX._ T_/d  
和差化积 aXGL4x=8  
zQY{x%uR  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] EqE/*7\b2  
#G"IKd6P  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] '*fjA\#  
qnHY3P'  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y P ZqG  
rL hAtE  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]   NvHH\  
`+w&6-=  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [UnLx7M:{  
WlB|hEm  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 9!1MNIgqwA  
9q_*9BKJ  
积化和差 g-?PKD   
M1NhHv53  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ?\jk0"`$p  
JZyr /b9{  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] (WKYS6"  
<*# 03Wb W  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <YG |']=  
OL O6':g  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] jW^,CZ D  
*9 |lT  
诱导公式 I<Ss  
M"G+r&L.  
　　sin(-α) = -sinα lmCWN*U  
JP:=  c  
　　cos(-α) = cosα 9UKQ"E*7  
62+5R  
　　sin(π/2-α) = cosα O6=4m8 f  
(hmS  
　　cos(π/2-α) = sinα !T|z ..f  
zD5-~ bz7x  
　　sin(π/2+α) = cosα W 5H%p  
x9R3=h[d  
　　cos(π/2+α) = -sinα % kESlRN7  
? >-laXc|  
　　sin(π-α) = sinα -<$:n>|nw  
Lg_t"a  
　　cos(π-α) = -cosα \tX}  
_AX>6m&\r  
　　sin(π+α) = -sinα /,Ps*I ^k  
u3 !3<vT  
　　cos(π+α) = -cosα Kj@!#3  
\FL l?  
　　tanA= sinA/cosA |2HB^8  
c?KI#Az@s  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα /ui$`JOg  
Ik.Qa | u  
　　tan（π/2－α）＝cotα Gg~@=TN3es  
1rQMFud.  
　　tan（π－α）＝－tanα JXH<[ O0  
.5j~'4  
　　tan（π＋α）＝tanα <P^ PR [  
a1T#Iz9  
万能公式 xTy".`+  
7 I [/,  
　　 E/Z$6/  
-@@>wfB  
其它公式 1k_ZVA<  
mlx^H];b  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 =lXx q;[x*  
'sj2Jvoe  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ,[S@<Cek"_  
* a$-F{k  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 vziOE)x  
> 3K%E#s  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 f&V{-**  
r`iTxHvv  
　　对于任意非直角三角形,总有 S]m(Kz8)  
W#D{_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC n-6#aSG$  
&/mAjOf  
　　证:  "=+G</  
9<3'`G  
　　A+B=π-C 2A8K:na  
y}}T&lA  
　　tan(A+B)=tan(π-C) T-; sKMe  
\B1^F U5  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) T+ a4D=ED  
ZuI~S{tH  
　　整理可得 4:NfS~B1  
jEvHSrW  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC rTX`Y~ ?  
 TA$="2)  
　　得证 ` zVKae3  
3G0n]P+E"  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~}'1+5  
^Qh}9qA  
其他非重点三角函数 #z<443nKpx  
T[PC5<Ec>  
　　csc(a) = 1/sin(a) 1(wDmDn[|t  
;PO{x:M$  
　　sec(a) = 1/cos(a) $qMc4-n *=  
I$-XJ7?^H  
　　 bV^)aPA.N  
k #GL5*fa  
双曲函数 S=5vdRaV  
Bh_~7`M  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 AM:@N;j  
=xvvHk6f6>  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 H1I?BTW p  
L-$j y.  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) WEWM@;Ik  
NS LJ ~  
　　公式一： Yam~+8g  
3Ww ua^*XW  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： f/_c?&J?  
'cVWcQfp  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ox3,ZZI  
>Bmi~h5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα p8-,iH3  
*p&T_t-  
　　tan（kπ＋α）= tanα ? 6I$8  
ZG;W7l:s  
　　cot（kπ＋α）= cotα k'W`uM  
:AN jXZA0  
　　公式二： sF4 %lP7  
U}/X{  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Bb8)}5vH  
ik[lKfs~b,  
　　sin（π＋α）= -sinα L%uQ9;#i  
V_2._M;o  
　　cos（π＋α）= -cosα Er@f%5s  
z cBG3Kp  
　　tan（π＋α）= tanα ;v|xhJ0  
u<e~{~Oq  
　　cot（π＋α）= cotα I]z>sGSwt  
(T!l!5msf  
　　公式三： CsfA  
.`SNCCM  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： =8$fk  
JQ);r  
　　sin（-α）= -sinα }V_=(VjY  
` q|; P<  
　　cos（-α）= cosα YME-x~!  
oL&(?  
　　tan（-α）= -tanα ,nZDS>@"  
Mfk") ~Ka  
　　cot（-α）= -cotα .(g C  
oW4nkBs1q  
　　公式四： fDkss65l  
@+v~CP5 ?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： *4cjn]  
9qtylPg  
　　sin（π-α）= sinα n/=eYfeU&  
/j;/` Iur  
　　cos（π-α）= -cosα @e]an$;  
'l\)vl7 5  
　　tan（π-α）= -tanα w% *FdA  
+|Dt=\2l'  
　　cot（π-α）= -cotα k_]{UBC]  
m$as$  
　　公式五： IT/CUK Bw  
d8C|"#PCR  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 7Ia@U:  
R#_t 8$  
　　sin（2π-α）= -sinα - C1Z*5k`  
Gl!=O;<hK7  
　　cos（2π-α）= cosα uZ:$wFqR  
R`; B?=  
　　tan（2π-α）= -tanα t @*QXi|  
nN `[9(  
　　cot（2π-α）= -cotα _4`zwz  
:aZUy5&o  
　　公式六： Wz=3 `G#  
+&$5HX  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Y26t )%  
pJ<%B2D  
　　sin（π/2+α）= cosα hllD};!   
Wm?.vNlh  
　　cos（π/2+α）= -sinα `g)6A\&  
 ^$kpM{  
　　tan（π/2+α）= -cotα i(Q}Z3D;,  
_VH2)YN :  
　　cot（π/2+α）= -tanα j ]9ERw?y  
CQ/4Ae;  
　　sin（π/2-α）= cosα MZzGof -3  
(ng}QI>s!  
　　cos（π/2-α）= sinα UAAHr8 R  
?D9HE  
　　tan（π/2-α）= cotα =y\E+p+  
ms^,V9/  
　　cot（π/2-α）= tanα -<N+oA*G-  
.[GoBUS| !  
　　sin（3π/2+α）= -cosα TF$[}  
k8/bAF4[  
　　cos（3π/2+α）= sinα zRcnS  
J$_cDp6S  
　　tan（3π/2+α）= -cotα O!*%gX0  
jFq2rI  
　　cot（3π/2+α）= -tanα +oc[;8h82  
d&<RJ~:{  
　　sin（3π/2-α）= -cosα _Rr2';c  
c`}q''  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #pKsGBAXG  
*Mo>]7nl  
　　tan（3π/2-α）= cotα S[uHet0l  
#Q*na5wA  
　　cot（3π/2-α）= tanα Mu{SR#P  
W}fs]:S>p  
　　(以上k∈Z) *6j46=I(  
8m.-IABy_  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @X -(3/g  
wlD|KHj`v  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = UKk;-a#+  
E!KTy1VL  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Sf*\K#g~m  
{+N4,l`!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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